2021 年初三数学上册期末考点练习：直线 和圆的位置关系知识点汇总及典型例题解 析 ?直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关 系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共 点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 直 线 与相交典例 1 如图,以点 P 为圆心作圆，所得的圆与直线 l 相切的是（ ） A．以 PA 为半径的圆 B．以 PB 为半径的圆 C．以 PC 为半径的圆 D．以 PD 为半径的圆 【答案】B 【详解】∵PB⊥l 于 B， ∴以点 P 为圆心，PB 为半径的圆与直线 l 相切． 故选 B． 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线 和圆的位置关系：设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距 离为 d．若直线 l 和⊙O 相交⇔d＜r；直线 l 和⊙O 相切 ⇔d=r；直线 l 和⊙O 相离⇔d＞r． 典例 2 的直径为，圆心到直线的距离为，下列位置关系正 确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：⊙的直径为， ⊙的半径为， 圆心到直线的距离为， ，即：， 直线与⊙的位置关系是相交. 故选：B. 【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键 是能熟练地运用直线与圆的位置关系的性质进行判断. 典例 3 在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标为(3，4)，半 径为 5，那么 y 轴与⊙P 的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都不是 【答案】C 【详解】解：∵⊙P 的圆心坐标为(3，4)， ∴⊙P 到 y 轴的距离 d 为 3 ∵d＝3＜r＝5 ∴y 轴与⊙P 相交 故选：C． 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图 形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方法是解 决问题的关键． 典例 4 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆 心，r 为半径作圆，若圆 C 与直线 AB 相切，则 r 的值为 （ ） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 ： Rt△ABC 中 ， ∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm； 由勾股定理，得：AB2=32+42=25， ∴AB=5； 又∵AB 是⊙C 的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=R； ∵S△ABC=AC•BC=AB•r； ∴r=2.4cm， 故选 B． 知识点二 切线的性质及判定 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线． 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 典例 1 如图，CB 为⊙O 的切线，点 B 为切点，CO 的延长线 交⊙O 于点 A，若∠A=25°，则∠C 的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 【答案】D 【详解】解：如图：连接 OB， ∵OB=OA， ∴∠A=∠OBA， ∵∠A=25°， ∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°， ∵AB 与⊙O 相切于点 B， ∴∠OBC=90°， ∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°． 故选：D． 【名师点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定 理，先求出∠COB 的度数，然后在三角形中求出∠C 的度数． 正确作出辅助线是解题的关键． 典例 2 如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点 C 在⊙O 上,且∠ACB＝55°，则∠APB 等于( ) A．55° B．70° C．110° D．125° 【答案】B 【详解】解：连接 OA，OB， ∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°． 故选：B． 【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性 质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB 的度数． 典例 3 如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 点，C 为⊙O 上 一点，∠P=66°，则∠C=（    ） A．57° B．60° C．63° D．66° 【答案】A 【详解】连接 OA，OB． ∵ PA ， PB 分 别 与 ⊙ O 相 切 于 A ， B 点 ， ∴ ∠OAP=90°，∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣ 66°=114°，由圆周角定理得：∠C∠AOB=57°． 故选 A． 【名师点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 典例 4 如图，PA，PB 分别切于点 A，B，，CD 切于点 E，交 PA，PB 于点 C，D 两点，则的周长是    A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【详解】解：、PB 分别切于点 A、B，CD 切于点 E， ，，， ， 即的周长为 24， 故选：C． 【名师点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理 求得、和是解题的关键． 典 例 5 如 图 ， P 为 ⊙ O 外 一 点 ， PA 、 PB 分 别 切 ⊙ O 于 A 、 B ， CD 切 ⊙ O 于 点 E ， 分 别 交 PA 、 PB 于 点 C 、 D ， 若 PA=5，则△PCD 的周长为（    ） A.5 B.7 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解:PA、PB 为圆的两条相交切线, PA=PB, 同理可得: CA=CE, DE=DB. △PCD 的周长=PC+CE+ED+PD, △PCD 的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, △PCD 的周长=8, 故选 C. 【名师点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运 用. 知识点三 三角形内切圆 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外 切三角形． 2、内心和外心的区别： 外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。 性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。 性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。 3、直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：（具体内容 见文件夹中 ppt） 典例 1 在中，，，的内切圆半径为 1，则的周长为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得， ． 则三角形的周长． 故选：B． 【名师点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟记 直角三角形的内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆的 半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解答此题的 关键． 典例 2 如图，内切于，切点分别为。已知，连接，那么等 于（ ） A．55° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【详解】解：∵E，F 是圆的切点， ∴OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠AEO=∠AFO=90°， ∵∠EOF=2∠EDF=， ∴， ∴ 故选择：B. 【名师点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三 角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等 知识点的理解和掌握，能求出∠B 的度数是解此题的关键． 典例 3 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切 于点 D、E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即 四边形 AEOF)的面积是( ) A.4 B.6.25 C.7.5 D.9 【答案】A 【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°， ∵⊙O 为△ABC 内切圆， ∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF， ∴四边形 AEOF 为正方形， 设⊙O 的半径为 r， ∴OE=OF=r， ∴S 四边形 AEOF=r²， 连接 AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴， ∴r=2， ∴S 四边形 AEOF=r²=4， 故选 A. 【名师点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆 定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识 是解题的关键. 巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1 ． 如 图 ， △ ABC 中 ， AB=3 ， AC=4 ， BC=5 ， D 、 E 分 别 是 AC、AB 的中点，则以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系是 （    ） A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 【答案】B 【 详 解 】 过 点 A 作 AM⊥BC 于 点 M ， 交 DE 于 点 N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM===2.4． ∵ D 、 E 分 别 是 AC 、 AB 的 中 点 ， ∴DE∥BC，DE=BC=2.5，∴AN=MN=AM，∴MN=1.2． ∵以 DE 为直径的圆半径为 1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系是：相交． 故选 B． 【名师点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位 线定理得出 BC 到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关 键． 2．在△ABC 中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点 B 为圆 心，5cm 为半径作⊙B，则边 AC 所在的直线和⊙B 的位置关 系（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【详解】解：∵AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°， ∴点 B 到直线 AC 的距离等于 5cm， 而⊙B 的半径为 5cm， ∴边 AC 所在的直线与⊙B 相切． 故答案为 A． 【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半 径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d．则直线 l 和⊙O 相交 ⇔d＜r；直线 l 和⊙O 相切⇔d=r；直线 l 和⊙O 相离⇔d＞ r． 3 ． 如 图 所 示 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， 点 C 为 ⊙ O 外 一 点 ， CA ， CD 是 ⊙ O 的 切 线 ， A ， D 为 切 点 ， 连 接 BD ，