2021 年初三数学上册期末考点练习：圆和 圆的位置关系知识点汇总及典型例题分析 ?圆和圆的位置关系 知识点一 圆和圆的位置关系（基础） 设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关 系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个 圆的外部． 两圆外离 外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外， 每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外切 相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交 内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外， 一个圆上的点都在另一个圆的内部． 两圆内切 内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个 圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例． 两圆内含 【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相 切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含 两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切 两种情况． 【圆和圆的位置关系小结】 圆与圆位置关系--外离（练习） 【图示】 典例 1 如果两圆的圆心距为 2，其中一个圆的半径为 3，另 一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ） A．内含 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】C 【详解】解：∵r＞1， ∴2＜3＋r， ∴这两个圆的位置关系不可能外离． 故选：C． 【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心 距为 d、两圆的半径分别为 r、R：①两圆外离⇔d＞R＋r； ② 两 圆 外 切 ⇔ d ＝ R ＋ r ； ③ 两 圆 相 交 ⇔ R−r ＜ d ＜ R ＋ r （ R≥r ） ； ④ 两 圆 内 切 ⇔ d ＝ R−r （ R ＞ r ） ； ⑤ 两 圆 内 含 ⇔d＜R−r（R＞r）． 典例 2 已知两圆的半径是方程 x2－7x＋12＝0 两实数根， 圆心距为 8，那么这两个圆的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 【答案】C 【详解】∵方程 x2-7x+12=0， ∴可转化为（x-3）（x-4）=0，解得 x1=3，x2=4． ∵两圆半径之和为 7，两圆半径之差为 1； ∵圆心距 d=8，＞两圆半径之和为 7； ∴两圆外离． 故选 C． 【名师点睛】考查用因式分解法解一元二次方程和由数量 关系来判断两圆位置关系的方法． 典例 3 已知线段 AB＝7cm．现以点 A 为圆心，2cm 为半径画 ⊙A；再以点 B 为圆心，3cm 为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B 的 位置关系是(      ) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】D 【解析】依题意，线段 AB=7cm，现以点 A 为圆心，2cm 为半 径画⊙A；再以点 B 为圆心，3cm 为半径画⊙B， ∴R+r=3+2=5，d=7， 所以两圆外离． 故选 D． 圆与圆位置关系—内含（练习） 【图示】 典例 1 已知圆 A 的半径长为 4，圆 B 的半径长为 7，它们的 圆心距为 d，要使这两圆没有公共点，那么 d 的值可以取（ ） A．11； B．6； C．3； D．2． 【答案】D 【解析】∵圆 A 的半径长为 4，圆 B 的半径长为 7，它们的 圆心距为 d， ∴当 d>4+7 或 d<7-4 时，这两个圆没有公共点，即 d>11 或 d<3， ∴上述四个数中，只有 D 选项中的 2 符合要求. 故选 D. 典例 2 已知⊙的半径长为，⊙的半径长为，如果⊙与⊙内 含，那么圆心距的长度可以为 （ ） A.； B.； C.； D.. 【答案】A 【详解】∵⊙A 的半径长为 2，⊙B 的半径长为 5，⊙A 与 ⊙B 内含， ∴AB＜5-2=3， A 选项符合， 故选：A． 圆与圆位置关系—内切/外切（练习） 【图示】 典例 1 已知⊙O1 与⊙O2 相切，若⊙O1 的半径为 1，两圆的 圆心距为 5，则⊙O2 的半径为（ ） A．4 B．6 C．3 或 6 D．4 或 6 【答案】D 【解析】解：∵⊙O1 与⊙O2 相切，⊙O1 的半径为 1，两圆 的圆心距为 5， 若⊙O1 与⊙O2 内切，则⊙O2 的半径为：5-1=4， 若⊙O1 与⊙O2 外切，则⊙O2 的半径为：5+1=6， ∴⊙O2 的半径为 4 或 6． 故选 D． 典例 2 已知两圆的直径分别为 7 和 1，当它们相切时，圆心 距为（    ） A．8 B．6 C．8 或 6 D．4 或 3 【答案】D 【解析】试题解析：∵直径分别为 7 和 1， ∴两圆半径分别为 3.5 和 0.5， ∴当两圆外切时，圆心距为 3.5+10.5=4； 当两圆内切时，圆心距为 3.5−0.5=3. 故选 D. 典例 3 两个圆的半径分别为 5 和 9，两圆的圆心距为 d，当 两圆相切时， d 的值是（ ） A．14 B．6 C．6 或 14 D．4 或 14 【答案】D 【解析】根据两圆相切的定义得：当 或时，两圆相切.易 得 D. 圆与圆位置关系—相交（练习） 【图示】 典例 1 如图，圆与圆的位置关系没有（ ） A．相交 B．相切 C．内含 D．外离 【答案】A 【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个 交点的情况, 所以圆与圆的位置关系没有相交, 故选 A. 【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题, 熟悉位置关系的辨析方法是解题关键. 典例 2 ⊙O1 和⊙O2 半径分别是 x2－7x＋12＝0 两根．O1O2 ＝2，则二圆位置关系是( ) A．相交 B．相离 C．相切 D．外切 【答案】A 【详解】解方程 x2－7x＋12＝0 得 x1＝3，x2＝4，∵O1O2 ＝ 2 ， x2 ＋ x1 ＝ 7 ， x2 － x1 ＝ 1 ， ∴ x2 － x1 ＜ O1O2 ＜ x2 ＋ x1，∴⊙O1 与⊙O2 相交，故答案选 A. 【名师点睛】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的 位置关系的判断，解题的关键是正确的解一元二次方程. 典例 3 已知两圆的半径满足方程，圆心距为，则两圆位置 关系是（ ） A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 【答案】A 【详解】解方程得两圆半径都等于.则两半径相减=0＜2， 两半径相加=＞2，因此两圆的位置关系是相交的.故选：A. 【名师点睛】设两圆半径为 R，r,圆心距为 p. R-r＜p＜R+r 时，两圆相交. 典例 4 已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，如果以 A 为圆 心为半径的⊙A 和以 BC 为直径的⊙D 相交，那么的取值范围 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由题意得：BD=DC=5， AB=AC=13， 由勾股定理得：AD=12， 设⊙A 的半径为 r， 根据两圆相交得： r-5＜12＜r+5， 解答：7＜r＜17， 故选 D． 典例 5 已知两圆半径分别为 3，5，圆心距为 7，则这两圆 的位置关系为（ ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【解析】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切 （两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距 离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半 径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两 圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差） . 因此， ∵两圆半径分别为 3，5，圆心距为 7， ∴，即两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差. ∴这两圆的位置关系为相交.故选 A. 巩固训练 一、单选题（共 10 小题） 1．如图，⊙O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交 ⊙O 于 B、C 点，则 BC=（    ） A.6 B.6 C.3 D.3 【答案】A 【解析】根据垂径定理先求 BC 一半的长，再求 BC 的长． 解：如图所示，设 OA 与 BC 相交于 D 点. ∵AB=OA=OB=6， ∴△OAB 是等边三角形. 又根据垂径定理可得，OA 平分 BC， 利用勾股定理可得 BD= 所以 BC=2BD=. 故选 A. 2．如图，已知∠POQ=30°，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在 点 O、B 之间），半径长为 2 的⊙A 与直线 OP 相切，半径长 为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（    ） A.5＜OB＜9 B.4＜OB＜9 C.3＜OB＜7 D.2＜OB＜7 【答案】A 【详解】设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4， 当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为 C，如图 1， ∵BC=3， ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5； 当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为 E，如图 2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9， ∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是：5 ＜OB＜9， 故选 A． 【名师点睛】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切 与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键. 3．已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm， 则直线 l 与⊙O 的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【详解】∵圆心到直线的距离 5cm=5cm， ∴直线和圆相切， 故选 B． 【名师点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是 能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若 d ＜r，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞ r，则直线与圆相离． 4．已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A、⊙B 都内切，且 AB＝ 5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C 的半径长是（ ） A.11 B.10 C.9 D.8 【答案】C 【详解】设⊙A 的半径为 X,⊙B 的半径为 Y,⊙C 的半径为 Z. 解得 故选：C 【名师点睛】此题考查相切两圆的性质，解题关键在于列 出方程 5．已知⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm，圆心距 O1O2=4cm，则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】详解：∵⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 2cm， 圆心距 O1O2 为 4cm， 又∵2+3=5，3-2=1，1＜4＜5， ∴⊙O1 与⊙O2 的位置关系是相交． 故选：C． 6．如图，在 Rt 中，，，，点在边上，，⊙的半径长为 3，⊙与⊙相交，且点在⊙外，那么⊙的半径长的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】试题分析：由勾股定理，得：AD＝5，⊙与⊙相交， 所以，r＞5－3＝2，BD＝7－3＝4，点在