2021 年初三数学上册期末考点练习：正多 边形和圆及弧长和扇形面积知识点汇总及 典型例题分析 正多边形和圆及扇形面积 知识点一 正多边形和圆 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多 边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念： Ø 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心． Ø 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形 的半径． Ø 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角． Ø 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做 正多边形的边心距． 半径、边心距，边长之间的关系： 画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）： 1） 量角器 （作法操作复杂，但作图较准确） 2） 量角器+圆规 （作法操作简单，但作图受取值影响误差较大） 3） 圆规+直尺 （适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十 二边形…..） 【典型例题】 典例 1 如图，圆与正五边形的两边，分别相切于，两点， 则__________度. 【答案】18 【分析】根据∠OCB=∠BCD-∠OCD，求出∠BCD，∠OCD 即可； 【详解】解：∵⊙O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 分别 相切于 A，C 两点， ∴OA⊥AE，OC⊥CD， ∴∠OAE=∠OCD=90°， 又∵∠BCD=108°， ∴∠OCB=108°-90°=18° 故答案为 18． 【名师点睛】本题考查正多边形与圆、切线的性质等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 典例 2 正三角形内接于⊙，⊙的半径为，则这个正三角形 的面积为_________． 【答案】27 【分析】利用等边三角形的性质得出点 O 既是三角形内心也 是外心，进而求出∠OBD=30°，OD、BD、BC 的值，然后根 据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接 AO 并延长交 BC 与点 D 连接 BO， ∵正三角形 ABC 内接于⊙O， ∴点 O 即是三角形内心也是外心， ∴∠OBD=30°，BD=CD=， ∴OD= =3， ∴AD=9，BD==3， ∴BC=6， ∴这个正三角形的面积为：=27. 故答案为：27． 【名师点睛】此题主要考查了正多边形和圆，含 30°角的 直角三角形的性质，勾股定理，利用正多边形内外心的特 殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD 是解题关键． 典例 3 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径 为 2，则△ADE 的周长是________ . 【答案】6+ 【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三 角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长， 从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长． 【详解】连接 OE， ∵多边形 ABCDEF 是正多边形， ∴∠DOE==60°， ∴∠DAE=∠DOE=×60°=30°，∠AED=90°， ∵⊙O 的半径为 2， ∴AD=2OD=4， ∴DE=AD=×4=2，AE=DE=2， ∴△ADE 的周长为 4+2+2=6+2， 故答案为：6+2． 【名师点睛】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是 确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度 不大． 典例 4 如图，要拧开一个边长为 a=6cm 的正六边形螺帽， 扳手张开的开口 b 至少为______cm． 【答案】6. 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的 2 倍，构 造一个由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形， 再根据锐角三角函数的知识求解即可． 【详解】解：设正多边形的中心是 O，其一边是 AB，AC 与 BO 相交于点 M， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形 ABCO 是菱形， ∵OA=AB=6cm，∠AOB=60°， ∴∠OAC=30°，cos∠OAC=， ∴AM=6×=（cm）， ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， ∴AM=MC=AC， ∴AC=2AM=6（cm）． 故答案为 6． 【名师点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个 由半径、半边和边心距组成的直角三角形、熟练掌握锐角 三角函数的知识是解题的关键. 典例 5 如图，有公共顶点 A、B 的正五边形和正六边形， 连接 AC 交正六边形于点 D，则∠ADE 的度数为___． 【答案】84°． 【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根 据四边形的内角和，可得答案． 【详解】正五边形的内角是∠ABC＝＝108°， ∵AB＝BC， ∴∠CAB＝36°， 正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝＝120°， ∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°， ∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°， 故答案为 84°． 【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多 边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题 关键． 知识点二 圆锥相关知识 设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有 关） 扇形面积公式： 母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥体表面积公式：（为母线） 备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积 典例 1.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6， 圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______． 【答案】4 【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆 锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出 结论． 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r， ∵AC=6，∠ACB=120°， ∴=2πr， ∴r=2，即：OA=2， 在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4， 故答案为：4． 【名师点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展 开图，勾股定理，求出 OA 的长是解本题的关键． 典例 2 已知扇形的弧长为 2，圆心角为 60°，则它的半径 为________． 【答案】6. 【解析】分析: 设扇形的半径为 r，根据扇形的面积公式及 扇形的面积列出方程，求解即可. 详解: 设扇形的半径为 r， 根据题意得：， 解得 ：r=6 故答案为：6. 典例 3 如图，用一个圆心角为 120°的扇形围成一个无底 的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为 1 cm，则这个扇形 的半径是________cm. 【答案】3 【解析】根据题意，由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形的半径为 r cm，则×πr＝2π×1，解方程可得 r＝ 3. 故答案为：3. 典例 4 如图，公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪，， 是圆上的点，为圆心，，从到只有路，一部分市民为走 “捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路.通过计算可知， 这些市民其实仅仅少走了__________步（假设 1 步为 0.5 米， 结果保留整数）．（参考数据：，取 3.142） 【答案】15 【分析】过 O 作 OC⊥AB 于 C，分别计算出弦 AB 的长和弧 AB 的长即可求解. 【解答】过 O 作 OC⊥AB 于 C，如图， ∴AC=BC， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵弧 AB 的长= 米步. 故答案为：15. 【点评】考查了弧长的计算，垂径定理的应用，熟记弧长 公式是解题的关键. 典例 5 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧 面，则这个圆锥的底面圆半径为__________． 【答案】 【解析】分析：圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆 周长=扇形的弧长，列方程求解． 详解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2πr=， 解得 r=cm． 故答案为：． 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：（考点） ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换 法 典例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE，点 B 经过 的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得到 AB=2，再根据扇形的面积公 式计算出 S 扇形 ABD，由旋转的性质得到 Rt△ADE≌Rt△ACB，于是 S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD﹣ S△ABC=S 扇形 ABD． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2， ∴AB=2， ∴S 扇形 ABD=， 又∵Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S 阴影部分=S△ADE+S 扇形 ABD﹣S△ABC=S 扇形 ABD=， 故答案为：． 【名师点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算， 得到 S 阴影部分 =S 扇形 ABD 是解题的关键. 典例 2 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1，以点 A 为圆心， AB 的长为半径，作扇形 ABF，则图中阴影部分的面积为____ _（结果保留根号和 π）． 【答案】﹣ 【解析】分析：正六边形的中心为点 O，连接 OD、OE，作 OH⊥DE 于 H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出 OH，得到正六边形 ABCDEF 的面积，求出∠A，利用扇形面积 公式求出扇形 ABF 的面积，结合图形计算即可． 详解：正六边形的中心为点 O，连接 OD、OE，作 OH⊥DE 于 H， ∠DOE==60°， ∴OD=OE=DE=1， ∴OH=， ∴正六边形 ABCDEF 的面积=×1××6=， ∠A==120°， ∴扇形 ABF 的面积=， ∴图中阴影部分的面积=-， 故答案为：-． 典例 3 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心， 以 AB 为半径画弧，交对角线 BD 于点 E，则图中阴影部分的 面积是_____（结果保留 π） 【答案】8﹣2π 【分析】根据 S 阴=S△ABD-S 扇形 BAE 计算即可； 【详解】S 阴=S△ABD-S 扇形 BAE=×4×4-=8-2π， 故答案为 8-2π． 【名师点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质 等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积． 典例 4 如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分 之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留） 【答案】 【解析】分析：连结 AD．根据图中阴影部分的面积=三角形 ABC 的面积-三角形 ACD 的面积-扇形 ADE 的面积，列出算式 即可求解． 详解：连结 AD． ∵直角△ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4， ∴∠C=60°，AB=4， ∵AD=AC， ∴三角形 ACD 是等边三角形， ∴∠CAD=60°，