人教版高中数学必修二检测：阶段通关训练 （二） Word 版含解析 阶段通关训练(二) (60 分钟　100 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1.(2016 ·吉安高二检测)下列说法中正确的是　(　　) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内 【解析】选 D.选项 A 中，缺条件“不共线”；选项 B 中，须指明这两条 直线的位置关系，比如两条异面直线就不能确定一个平面；选项 C 中， 两两相交的三条直线当相交于同一点时，它们可以不在同一平面内， 比如正方体中同一顶点的三条棱. 2.如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB=90°，M 为 AB 的中点， PM 垂直于△ABC 所在平面，那么　(　　) A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 【 解 析 】 选 C. 因 为 M 为 AB 的 中 点 ， △ ACB 为 直 角 三 角 形 ， 所 以 BM=AM=CM，又 PM⊥ 平面 ABC，所以 Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故 PA=PB=PC. 3.(2016· 成 都 高 二 检 测 ) 如 图 ， 已 知 三 条 长 度 相 等 的 线 段 AB ， BC ， CD ， 若 AB⊥BC ， BC⊥CD ， 且 直 线 AB 与 CD 所 成 角 大 小 为 60°，则直线 AD 与 BC 所成角大小为　(　　) A.90°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30° 【解析】选 C.如图，过 B 作 BE CD，连接 DE，AE，则四边形 BCDE 为正 方形，∠ABE 为直线 AB 与 CD 所成角，∠ADE 为直线 AD 与 BC 所成角.因 为 AB=BC=CD=BE ， ∠ ABE=60° ， 所 以 AB=BE=AE. 因 为 AB⊥BC ， 所 以 AB⊥DE，又 BE⊥DE，AB∩BE=B，所以 DE⊥平面 ABE，所以 DE⊥AE，所 以△AED 为等腰直角三角形，所以∠ADE= 45°. 【拓展延伸】求异面直线所成角的方法 求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角，主要途径有： 利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线 分线段成比例的性质等，如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方 形，达到平移的目的. 【补偿训练】(2016·台州高二检测)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 异面直线 A1D 与 D1C 所成的角为　(　　) A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90° 【解析】选 C.由题可知，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B∥D1C，所以异 面 直 线 A1D 与 D1C 所 成 的 角 与 直 线 A1D 与 A1B 所 成 的 角 相 等 ， 连 接 A1B，BD，∠BA1D 为所求角，设正方体的棱长为 1，在△A1DB 中，三条 边长均为 ，故∠BA1D=60°. 4.(2016·北京高二检测)已知直线 m 和平面 α，β，则下列四个命题 中正确的是　(　　) A.若 α⊥β，m⊂β，则 m⊥α B. 若 α∥β ， m⊥α ， 则 m⊥β C.若 α∥β，m∥α，则 m∥β D. 若 m∥α ， m∥β ， 则 α∥β 【解析】选 B.若 α⊥β，m ⊂β，则直线 m 与平面 α 相交，或直线 m 在平面 α 内，或直线 m 与平面 α 平行，所以选项 A 不正确；若 α∥β，m∥α，则直线 m 与平面 β 平行，或直线 m 在平面 β 内，所 以选项 C 不正确.若 m∥α，m∥β，则 α∥β 或 α 与 β 相交，所以 选项 D 不正确. 5.(2016·辽宁师大附中高一检测)如图，六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正 六边形，PA⊥平面 ABC，则下列结论不正确的是　(　　) A.CF⊥平面 PAD B.DF⊥平面 PAF C.CF∥平面 PAB D.CD∥平面 PAF 【解析】 选 A.因为六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形， PA⊥平面 ABC.则 AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得 CD∥平面 PAF，故 D 正 确；DF⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得 DF⊥平面 PAF，故 B 正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得 CF∥平面 PAB，故 C 正 确；CF 与 AD 不垂直，故 A 中，CF⊥平面 PAD 不正确. 6.已知矩形 ABCD，AB=1，BC= ，将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在 的直线进行翻折，在翻折过程中　(　　) A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均 不垂直 【解析 】选 B.A 错误.理由如下：过 A 作 AE⊥BD，垂足为 E，连接 CE， 若直线 AC 与直线 BD 垂直，则可得 BD⊥平面 ACE， 于是 BD⊥CE，而由矩形 ABCD 边长的关系可知 BD 与 CE 并不垂直.所以 直线 AC 与直线 BD 不垂直. B 正确.理由：翻折到点 A 在平面 BCD 内的射影恰好在直线 BC 上时，平 面 ABC⊥平面 BCD，此时由 CD⊥BC 可证 CD⊥平面 ABC，于是有 AB⊥CD. 故 B 正确. C 错误.理由如下：若直线 AD 与直线 BC 垂直，则由 BC⊥CD 可知 BC⊥平 面 ACD，于是 BC⊥AC，但是 AB<BC，在△ABC 中∠ACB 不可能是直角.故 直线 AD 与直线 BC 不垂直.由以上分析显然 D 错误. 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 7.下列说法：①若 a∥b，a∥α，则 b∥α；②若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； [来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网] ③若 a∥α，则 a 平行于 α 内所有的直线；④若 a∥α，a∥b，b⊄α， 则 b∥α. 其中正确说法的序号是________. 【解析】①中 b 可能在 α 内；② a 与 b 还可能异面或者垂直；③ a 还 可能与 α 内的直线异面或垂直. 答案：④ 8.如图，四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 是 SA 上一点， 当点 E 满足条件：________时，SC∥平面 EBD. 【解析】当点 E 是 SA 的中点时，连接 AC. 设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO. 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以点 O 是 AC 的中点. 又 E 是 SA 的中点，所以 OE 是△SAC 的中位线. 所以 OE∥SC.因为 SC⊄平面 EB D，OE⊂平面 EBD， 所以 SC∥平面 EB D. 答案：点 E 是 SA 的中点 9.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，点 E，F 分 别是棱 PC，PD 的中点，则 ①棱 AB 与 PD 所在直线垂直； ②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线 AE 与直线 BF 是异面直线. [来源:学科网] 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 【解析】由条件可得 AB⊥平面 P AD， 所以 AB⊥PD，故①正确； 若平面 PBC⊥平面 ABCD，由 PB⊥BC， 得 PB⊥平面 ABCD，从而 PA∥PB，这是不可能的，故②错； S△PCD= CD·PD，S△PAB= AB·PA， 由 AB=CD，PD>PA 知③正确； 由 E，F 分别是棱 PC，PD 的中点， 可得 EF∥CD，又 AB∥CD， 所以 EF∥AB，故 AE 与 BF 共面，④错. 答案：①③ 10.(2016· 西 宁 高 二 检 测 ) 在 四 面 体 ABCD 中 ， AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面 ABD⊥平面 BCD，M 为 AB 中点，则 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值为________. 【 解 析 】 如 图 所 示 ， 取 BD 中 点 O ， 连 接 CO ， MO ， 由 已 知 条 件 BC=CD=1 ，所 以 BD⊥CO ，由 平面 ABD⊥平 面 BCD ，且 平面 ABD∩ 平 面 BCD=BD，所以 CO⊥平面 ABD，则∠CMO 即为直线 CM 与平面 ABD 所成的 角，由 AB⊥AD，所以 BD= ，则得到 BC⊥CD，所以 CO= BD= ，MO= AD= ，所以在 Rt△COM 中，CM= = ，所以 sin∠CMO= = =. [来源:Z§xx§k.Com] 答案： 三、解答题(共 4 小题，共 50 分) 11.(12 分)(2016·台州高二检测)如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是 矩 形 ， PA⊥ 平 面 ABCD ， 点 M ， N 分 别 是 AB ， PC 的 中 点 ， PA=AD=a. (1)求证：MN∥平面 PAD. (2)求证：平面 PMC⊥平面 PCD. 【证明】(1)设 PD 的中点为点 E，连接 AE，NE，由点 N 为 PC 的中点知 EN DC，又 ABCD 是矩形，所以 DC AB，所以 EN AB，又点 M 是 AB 的中点，所以 EN AM ，所以 AMNE 是平行四 边形，所以 MN∥AE，而 AE⊂平面 PAD，NM⊄平面 PAD，所以 MN∥平面 PAD. (2) 因 为 PA=AD ， 所 以 AE⊥PD ， 又 因 为 PA⊥ 平 面 ABCD ， CD⊂ 平 面 ABCD，所以 CD⊥PA，而 CD⊥AD，所以 CD⊥平面 PAD，所以 CD⊥AE，因 为 PD∩CD=D，所以 AE⊥平面 PCD，因为 MN∥AE，所以 MN⊥平面 PCD， 又 MN⊂平面 PMC，所以平面 PMC⊥平面 PCD. 【补偿训练】(2016·济南高一检测)如图所示，平面四边形 PACB 中， ∠PAB 为直角，△ABC 为等边三角形，现把△PAB 沿着 AB 折起，使得 △APB 与 △ABC 垂直，且点 M 为 AB 的中点. (1)求证：平面 PAB⊥平面 PCM. (2)若 2PA=AB，求直线