人教版高中数学必修二检测：第二章 点、直 线、平面之间的位置关系 单元质量评估 （二） Word 版含解析. 单元质量评估(二) (第二章) (120 分钟　150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.(2016·蚌埠高二检测)已知两条相交直线 a，b，a∥平面 α，则 b 与平面 α 的位置关系是　(　　) A.b⊂平面 α B.b⊥平面 α C.b∥平面 α D.b 与平面 α 相交，或 b∥平面 α 【解析】选 D.直线 a 显然不可能在平面 α 内，平行与相交都有可能， 故选 D. 2.下列叙述中，正确的是　(　　) A.四边形是平面图形 B.有三个公共点的两个平面重合 C.两两相交的三条直线必在同一个平面内 D.三角形必是平面图形 【解析】选 D.A 中四边形可以是空间四边形；B 中两个相交平面的交线 上有无数个公共点；C 中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一 定在一个平面内，故 A，B，C 不正确，D 正确. 3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则　(　　) A.m∥l　　 　B.m∥n　　　 C.n⊥l　　　 D.m⊥n 【解题指南】根据线、面垂直的定义判断. 【解析】选 C.由题意知,α∩β=l,所以 l⊂β,因为 n⊥β, 所以 n⊥l. 4.(2016· 银 川 高 一 检 测 ) 空 间 四 边 形 ABCD 中 ， 若 AB=AD=AC=CB=CD=BD，则 AC 与 BD 所成角为　(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选 D.取 AC 中点 E，连接 BE，DE，因为 AB=AD=AC=CB=CD=BD， 所以 AC 垂直于 BE，也垂直于 DE，所以 AC 垂直于平面 BDE，因此 AC 垂 直于 BD. 5.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列结论不正确的是　(　　) A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥AC C.BD1∥B1C D.∠ACB1=60° 【解析】选 C.因为 C1D1⊥平面 B1C，B1C⊂平面 B1C， 所以 C1D1⊥B1C， 所以 A 选项正确； 由于 AC⊥平面 BDD1， 所以 BD1⊥AC，B 选项正确； 因为三角形 AB1C 为等边三角形， 所以∠ACB1=60°，即 D 选项正确. 由于 BD1 与 B1C 是异面直线，所以 C 错. 6.(2016·鞍山高一检测)设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线， 以下命题正确的是　(　　) A.若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β B.若 l∥α，α∥β，则 l⊂β C.若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β D.若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β 【解析】选 C.若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β 或 l∥β，故 A 不正确；若 l∥α， α∥β ， 则 l⊂β 或 l∥β ， 故 B 不 正 确 ； 若 l⊥α ， α∥β ， 则 l⊥β，故 C 正确；若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β 或 l⊂β 或 l∥β，故 D 不正确. 7.(2016· 衡 水 高 二 检 测 ) 如 图 所 示 ， 在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ， BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是 A1B1，AB 的中点，给出下列结论： ① C1M⊥平面 A1ABB1，② A1B⊥NB1，③平面 AMC1⊥平面 CBA1，其中正确 结论的个数为　(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 D.① 因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，所以平面 A1B1C1⊥平面 ABB1A1，因为 BC=AC，所以 B1C1=A1C1，又因为 M 为 A1B1 的中点，所以 C1M⊥A1B1，因为平面 A1B1C1∩平面 ABB1A1=A1B1，所以 C1M⊥平面 ABB1A1， 故①正确；②由①知，C1M⊥A1B，又因为 AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以 A1B⊥平面 AMC1，所以 A1B⊥AM，因为 M，N 分别是 A1B1，AB 的中点，所 以 ANB1M 是平行四边形，所以 AM∥NB1，因为 A1B⊥AM，所以 A1B⊥NB1， 故②正确；③由②知 A1B⊥平面 AMC1，又因为 A1B⊂平面 CBA1，所以平 面 AMC1⊥平面 CBA1，故③正确，综上所述，正确结论的个数为 3. 8. 如 图 ， 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长 为 1 ， 线 段 B1D1 上 有 两 个 动 点 E，F，且 EF= ，则下列结论中错误的是(　　) A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 【解析】选 D.A.由题意及图形知，AC⊥面 DD1B1B，故可得出 AC⊥BE， 此命题正确，不符合题意； B.EF∥平面 ABCD，由正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个底面平行，EF 在其一 面上，故 EF 与平面 ABCD 无公共点， 故有 EF∥平面 ABCD，此命题正确，不符合题意； C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 DD1B1B 的距离是定值，故可得三棱锥 A-BEF 的 体积为定值，此命题正确，不符合题意； D.由图形可以看出，B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等，故 △AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故 D 是错误的. 9.如图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是　(　　) A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 【 解析 】 选 D.由 于 BD∥B1D1 ，易 知 BD∥ 平面 CB1D1 ； 连接 AC， 易证 BD⊥面 ACC1，所以 AC1⊥BD；同理可证 AC1⊥B1C，因为 BD∥B1D1，所以 AC1⊥B1D1 ， 所 以 AC1⊥ 平 面 CB1D1 ； 对 于 选 项 D ， 因 为 BC∥AD ， 所 以 ∠B1CB 即为 AD 与 CB1 所成的角，此角为 45°，故 D 错. 10.在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 1， 则二面角 A-CD-B 的余弦值为　(　　) A. B. C. D. 【 解 析 】 选 C. 因 为 AC= ，其余各棱长均为 1，故 AB⊥BC，AD⊥DC，取 CD，AC 的中点分别为 E，F，连接 EF，BF，BE， 则 EF∥AD，所以 EF⊥CD.且 EF= AD= ，BF= AC= ，BE⊥CD，且 BE= ， 所 以 ∠ FEB 为 二 面 角 A-CD-B 的 平 面 角 ， 在 △ BEF 中 ， BE2=BF2+EF2，所以△BEF 为直角三角形，所以 cos∠FEB= = = . 11.(2016·全国卷Ⅰ)平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α∥平 面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选 A.如图所示: 因为 α∥平面 CB1D1,所以若设平面 CB1D1∩平面 ABCD=m1,则 m1∥m. 又因为平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 结合平面 B1D1C∩平面 A1B1C1D1=B1D1, 所以 B1D1∥m1,故 B1D1∥m.同理可得:CD1∥n. 故 m,n 所成角的大小与 B1D1,CD1 所成角的大小相等,即∠CD1B1 的大小.而 B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1= ,即 sin∠CD1B1= . 12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N 分别为 A1B，B1C1 的中点. 下列结论中正确的个数有　(　　) ①直线 MN 与 A1C 相交. ② MN⊥BC. ③ MN∥平面 ACC1A1. ④三棱锥 N-A1BC 的体积为 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【解析】选 B.由三视图可知， = a3. 该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边 BC 中点 E，连 ME，NE，则 ME∥A1C，NE∥C1C，故平面 MNE∥平面 ACC1A1， 故 MN∥平面 ACC1A1，所以直线 MN 与 A1C 相交错误，故③正确，①错误. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面，故 BC⊥ 平 面 MNE ， 所 以 MN⊥BC ， ② 正 确 . = = ×a× ×a×a= a3，故④正确.所以②③④正确. 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题 中的横线上) 13.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 C1D1，C1C 的 中点.给出以下四个结论： ①直线 AM 与直线 C1C 相交； ②直线 AM 与直线 DD1 异面； ③直线 AM 与直线 BN 平行； ④直线 BN 与直线 MB1 异面. 其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号). 【解析】由异面直线判定定理知：①直线 AM 与直线 CC1 异面；②直线 AM 与直线 DD1 异面；④直线 BN 与直线 MB1 异面，因为直线 BN 与直线 AE 平行(E 为 DD1 的中点)，所以③直线 AM 与直线 BN 异面. 答案：②④ 14.如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB=3，BC=a，若 PA⊥平面 ABCD，在 BC 边上取点 E，使 PE⊥DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围 是________. 【解析】由题意知：PA⊥DE， 又 PE⊥DE，PA∩PE=P， 所以 DE⊥面 PAE， 所以 DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. 设 BE=x， 则=， 即 =. 所以 x2-ax+9=0，由 Δ>0， 解得 a>6. 答案：a>6 15.如图所示，在四棱锥 P-