高考卷 普通高等学校招生全国统一考 试数学（福建卷·理科）（附答案，完全 word 版） 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1) 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值 为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 (2)设集合 A={x|},B={x|0＜x＜3,那么“mA”是“mB”的 A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既 不充分也不必要条件 (3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若 n1=7,a5=16,则 数列｛an｝前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128 (4)函数 f(x)=x3+sinx+1(xR)，若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 A. B. C. D. (6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值 为 A. B. C. D. (7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不 同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数 x、y 满足，则的取值范围是 A.(0,1) B. C.(1,+) D. (9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数 y=-f′ (x)的图象，则 m 的值可以为 A. B. C.－ D.－ (10)在 △ABC 中，角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2b2)tanB=,则角 B 的值为 A. B. C.或 D. 或 (11)又曲线（a ＞0,b＞0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且| PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. C. (3,+) D. (12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图， 那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把 答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin （为参数）没有公 共点，则实数 m 的取值范围是 . （15）若三棱锥的三个侧 圆两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　 . （16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、b∈R，都有 a+b、a-b， ab、　∈P（除数 b≠0），则 称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域； 数集也是数域。 有下列命题： 　　　①整数集是数域； ② 若有理数集，则数集 M 必为数域； ③ 数域必为无限集； ④ 存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是　　　　. （把你认为正确的命题的序号填填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 　　　已知向量 m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且 A 为锐角. （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）求函数的值域. （18）（本小题满分 12 分） 　　　如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA=PD＝，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. （Ⅰ）求 证：PO⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小； （Ⅲ）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距 离为？若存在，求出　的值； 若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分 12 分）已知 函数. （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点(n∈N*)在函数 y=f′(x)的图象上，求证：点 （n,Sn）也在 y=f′(x)的图象上； 　　 （Ⅱ）求函数 f(x)在区间（a-1,a）内的极值. （20） （本小题满分 12 分） 　　　某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A 成绩合格时，才可继续参加科 　目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个 科目成绩均合格方可获得证 　书.现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概 率均为，科目 B 每次考试 　成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不 影响. （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； 　　（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试 机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望 E. （21） （本小题满分 12 分） 　　　如图、椭圆的一个焦点是 F（1，0），O 为坐标原 点. 　　　　　　　　　　　　 （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三 等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； 　　（Ⅱ）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，值有,求 a 的取值范围. （22）（本小题 满分 14 分） 　　　已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 　　（Ⅰ）求 f(x)的单调区间； 　　（Ⅱ）记 f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. （Ⅲ）如果对一切 n，不等式恒成立，求实 数 c 的取值范围； （Ⅳ）求证： 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分. （1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D （7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每 小题 4 分，满分 16 分. （13）31 （14） （15）9 （16）③④ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本 小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公 式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考 查运算能力.满分 12 分. 　解：（Ⅰ）由题意得 　　　 　　　由 A 为锐角得 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 　　　　　所以 　　　　　因为 x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值. 　　　　　当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是. （18）本小题主要考查直线与平面的位置关 系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查 空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 　解法一： 　　（Ⅰ）证明：在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面平面 ABCD=AD, 平 面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD. （Ⅱ）连结 BO，在直角 梯形 ABCD 中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面 直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中，AB=1,AO=1, 所以 OB＝， 在 Rt△POA 中， 因为 AP＝，AO＝1，所以 OP＝1， 在 Rt△PBO 中， tan∠PBO＝ 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是. （Ⅲ） 假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为. 　设 QD＝x，则，由（Ⅱ）得 CD=OB=， 　在 Rt△POC 中， 所以 PC=CD=DP, 由 Vp-DQC=VQPCD,得 2，所以存在点 Q 满足题意，此时. 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以 O 为坐标原点，的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易 得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 所 以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos， (Ⅲ)假设存在 点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为， 由(Ⅱ)知 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0). 则所以即， 取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1). 设由，得解 y=-或 y=(舍去)， 此时，所以存在点 Q 满足题意，此时. (19)本小题主要考 查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转 化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能 力.满分 12 分. (Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点在函 数 y=f′(x)的图象上, 又所以 所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数 y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当 x 变化时,﹑ 的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到,从而 ①当,此时无极 小值； ② 当的极小值为,此时无极大值； ③ 当既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基 本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的 能力.满分 12 分. 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A，“科目 A 补考合格”为事件 A2； “科目 B 第一次考试合格”为事件 B，“科目 B 补考合格” 为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意 到 A1 与 B1 相互独立， 则. 答：该考生不需要补考就获得 证书的概率为. (Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件 之间的独立性与互斥性，可得 故 答：该考生参加考试次 数的数学期望为. (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关 系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考 查运算能力和综合解题能力.满分 12 分. 解法一：(Ⅰ)设 M，N 为短轴的两个三等分点， 因为△MNF 为正三角形， 所以, 即 1＝ 因此，椭圆方程为 (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时， (ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时， 设直线 AB 的